Misha Verbitsky Голосов: 1 Адрес блога: http://lj.rossia.org/users/tiphareth/ Добавлен: 2008-01-02 18:18:22 блограйдером Robin_Bad

"темы курсовых"

2012-10-14 21:49:59 (читать в оригинале)


Ежегодная развлекуха: в служебные
обязанности преподавателя матфака входит
составление "темы курсовых", каждый год, а
студенты обязаны с первого курса ежегодно
сочинять эти самые курсовые.

Выродил очередной наборчик.

1-Й КУРС

А. Топологическая группа есть топологическое пространство
G с заданной на нем групповой операцией, такая, что
умножение GxG -> G и взятие обратного
непрерывны. Пусть G -- компактная, связная топологическая
группа, причем для какого-то t, множество t, t^2, t^3,
t^4, ... плотно в G. Докажите, что G изоморфно тору.

Б. Постройте счетное, связное хаусдорфово топологическое
пространство. Может ли оно быть компактно? Решение лучше
поискать в литературе (Гуглем, например), самостоятельно
найти такую штуку будет трудно.

В. Дифференцирования кольца A -- отображения
из кольца в себя, удовлетворяющие тождеству Лейбница
$d(xy) = d(x) Y + x d(y)$. Пусть A -- кольцо гладких
функций на $\R^n$. Докажите, что модуль дифференцирований
изоморфен свободному модулю $A^n$.

Г. {\bf Топологическое кольцо} есть кольцо, где
задана топология, причем умножение и сложение непрерывны.
{\бф Локальное поле} есть локально-компактное
топологическое кольцо с делением. Докажите, что
любое локальное поле есть конечное расширение
p-адического поля $\Q_p$.

2-Й КУРС

А. Докажите, что группа изометрий компактного риманова
многообразия -- компактная группа Ли.

Б. Аменабельная группа есть группа G, снабженная
инвариантной аддитивной положительной мерой на кольце всех
подмножеств (можно считать, что мера G равна 1). Докажите,
что Z^n аменабельна, а свободная группа F_n от двух и
более образующих не аменабельна. Докажите, что группа,
содержащая F_2, не аменабельна.

В. Докажите "альтернативу Титса": если группа Ли не
разрешима, она содержит свободную группу F_2. Решение
поищите в литературе, если не получается.

Г. Постройте меру Хаара (нетривиальную
левоинвариантную борелевскую меру) на
локально компактной топологической группе.
Используя меру Хаара, докажите, следующую
теорему фон Ноймана: любая компактная группа,
которая гомеоморфна многообразию, является
группой Ли. Следует пользоваться
книгой Тао о 5-й проблеме Гильберта.

Д. Изучите категорную версию теории Галуа,
принадлежащую Гротендику (гуглить на "Galois
cathegories"). Пусть $M$ -- метрическое пространство.
Рассмотрим топологию на фундаментальной группе $M$,
индуцированную топологией равномерной сходимости
в пространстве петель. Надо определить категорию Галуа
"топологических накрытий" таким образом, чтобы связные
накрытия в этой категории соответствовали замкнутым
подгруппам в топологической группе Галуа. Эта работа
имеет научный смысл и может быть опубликована.

3-й, 4-й курс, магистратура.

А. Если вы не знаете определение орбиобразия, найдите в
литературе. Определите неразветвленное накрытие
орбиобразий. Найдите все двумерные орбиобразия, не
допускающие неразветвленных, гладких накрытий
(указание: все они рода 0 и 1). Решение этой задачи можно
поискать в Гугле, спросить у кого-нибудь, либо сделать
самостоятельно.

Б. Пусть G -- компактная группа Ли с левоинвариантной
римановой метрикой $g_0$. Решите уравнение потока Риччи
$g_t' = - 2\Ric(g_t)$ в классе левоинвариантных
метрик. Найдите, к чему сходится.

В. Плоское аффинное многобразие есть фактор открытого
подмножества U в R^n по дискретной группе аффинных
преобразований. Геодезическая плоского аффинного
многообразия есть образ прямой из U. Докажите,
что каждое плоское аффинное компактное многообразие
содержит плотную геодезическую.

Г. Докажите теорему Бибербаха (18-я проблема
Гильберта). Если $M$ -- компактное риманово многообразие с
плоской метрикой, то у $M$ есть накрытие, изометричное
плоскому тору. Решение этой задачи можно поискать в Гугле.

Д. Пусть g -- вещественная алгебра Ли. Комплексная
структура на g есть подалгебра $g^{1,0}\subset g\otimes
\C$ такая, что $g^{1,0}$ не содержит вещественных векторов
и ее комплексная размерность равна $\dim_\R g$.
Пусть g нильпотентная алгебра Ли, n ее размерность, а m --
длина центрального ряда. Докажите, что для вещественной
алгебры Ли, допускающей комплексную структуру,
$m \leq \lambda n$, для какой-то константы
$\lambda <1$. Ответ к этой задаче науке неизвестен,
и заслуживает публикации в приличном журнале.

Е. В задаче про комплексные структуры на нильпотентных
алгебрах Ли, оцените константу $\lambda$ посредством
компьютерного перебора нильпотентных алгебр Ли
ограниченной размерности.

4-й курс, магистратура.

А. Пусть $A$ -- дифференциальная градуированная алгебра, а
$G$ -- алгебра верхнетреугольных матриц с коэффициентами в $A$.
"Обобщенные произведения Масси" (по Бабенко-Тайманову,
arXiv:math/9911132) суть препятствия к почленному
формальному решению уравнения Маурера-Картана
$\gamma^2 = - d\gamma$. Теперь, возьмем в качестве
$A$ комплекс де Рама для нильпотентной алгебры Ли.
Вознимают три задачи, одна проще, две труднее.
Во-первых, доказать, что для неабелевой нильпотентной
алгебры обобщенные произведения Масси нетривиальны.
Во-вторых, выяснить, для каких неабелевых нильпотентных
алгебр Ли обычные (трехчленные) произведения Масси всегда
тривиальны, и существуют ли такие алгебры Ли. В третьих,
восстановить нильпотентную алгебру Ли по ее обобщенным
произведениям Масси, или убедиться, что это невозможно.
Последне две задачи в случае успеха заслуживают публикации.

Б. Эрмитова форма на комплексном многообразии называется
"симплектической эрмитовой", если она -- (1,1)-часть
замкнутой. Нильмногообразие есть фактор нильпотентной
группы Ли по решетке, а комплексное нильмногообразие -
фактор нильпотентной группы Ли, снабженной левоинвариантной
комплексной структурой, по решетке. Есть много эмпирических
данных, позволяющих предполагать, что на нетривиальных
комплексных нильмногообразиях не бывает симплектически
эрмитовых форм, но это пока не доказано. Надо доказать
или опровергнуть эту гипотезу. Решение этой задачи
заслуживает публикации.

Comments

Тэги: hse, math