Misha Verbitsky Голосов: 1 Адрес блога: http://lj.rossia.org/users/tiphareth/ Добавлен: 2008-01-02 18:18:22 блограйдером Robin_Bad

Дифференциальная геометрия и векторные расслоения

2013-03-22 19:48:12 (читать в оригинале)

Кстати, написал заявку на курс НМУ+Вышки
на следующую осень (если не посадят, конечно).
Это какбе продолжение для англоязычного
курса "основ геометрии" (пучки, расслоения,
дифференциальные формы), который я по принуждению
начальства читаю в этом семестре.

Придется, боюсь, повторять этот же контент,
потому что, опыт показывает, про многообразия
студенты Вышки на 3-м курсе практически ничего
не знают, а векторные расслоения вводят их в
полный ступор.

Попробую листочки раздать, пусть сами решают.

Это, в принципе, полная катастрофа:
на курсе есть человек 5-7, которые все нужное
выучили самостоятельно, и 33, которые не выучили,
и уже никогда не выучат, потому что (а) преподаватели
ориентируются на эти 5-7 человек и (б) слишком
сложные задания, которые приходится делать 24/7
нон-стоп, ничего совершенно не понимая, не оставляют
у студента времени в чем-то разобраться.

К концу 3-го курса эти 30 человек превращаются
в совершенные овощи, и теряют какие-либо способности
к математическим занятиям. А те 5-10 человек, которые
продвинутые (и которые, при разумной системе, объясняли
бы трудные вещи всем оставшимся, при этом повышая
и собственный уровень, и мотивацию) тоже бросают занятия,
потому что вокруг них дико скучно, непонятно, и все равно
толком ничему не учат. А не учат, потому что отсутствует
общий понятийный базис, когда есть 10 человек, и каждый
знает 1/10 того, что требуется, причем все эти 1/10 не
пересекаются, прочесть им разумный курс тоже нельзя -
надо рыть ход к Фомичевым с каждым отдельно
проходить обязалово второго курса НМУ.

Наблюдаю это уже не первый год в вышечке, и практически
отчаялся. На мехмате, конечно, в сотни раз хуже, но там
и студенты сильно слабее.

* * *

Дифференциальная геометрия и векторные расслоения
(спецкурс и семинар)

Дифференциальная геометрия есть наука о геометрических
структурах на гладких многообразиях. Понятие
геометрической структуры (G-структуры) было
введено Эли Картаном, в качестве общей
платформы для изучения имевшихся к тому
моменту геометрических структур. Понятие
геометрической структуры стало фундаментом
современной геометрии (Атья, Ботт, Гриффитс,
Картан, Кобаяши, Черн), в той же степени, в
которой "Эрлангенская программа" Феликса Клейна
была фундаментом геометрии 19-го века.

Курс планируется как введение в основы дифференциальной
геометрии, для студентов, которым знакомы понятия
гладкого многообразия и векторного расслоения
(или тех, кто собирается быстро их выучить).
В качестве иллюстрации, я вкратце расскажу
основы римановой геометрии (голономия, кривизна,
классификация Берже многообразий с неприводимой
голономией).

Знание программы курса обязательно для посещения
"Комплексной алгебраической геометрии" весной.

1. Связность на векторном расслоении.
Параллельный перенос. Кривизна, голономия,
теорема Амброза-Зингера.

2. Связность на касательном расслоении.
Кручение и его свойства. Связность Леви-Чивита.

3. Разложение тензора кривизны в неприводимые компоненты.
Симметрии тензора кривизны. Тензор Риччи и эйнштейновы
многообразия.

4. Классификация неприводимых голономий по Берже.

5. Торсоры и главные расслоения. Связность Эресмана.
Связность Картана на главном расслоении и ее кривизна.

6. Редукция структурной группы и G-структуры.

7. Кручение G-структуры по Картану. Препятствия
к тривиализации G-структуры. Классификация однородных
геометрий согласно Картану-Гийемину и формальная теория
де Рама.

8* Классификация алгебр Клиффорда, спиноры, спинорные расслоения,
спин-структуры.

Я буду пользоваться основами теории представлений
(группы Ли, мера Хаара) и анализа на многообразиях
(пучки, многообразия, векторные расслоения, алгебра
де Рама). Слушатели, которые не знакомы с предварительным
материалом, смогут изучить базовые понятия
(пучки, векторные поля, дифференциальные
формы) по листочкам.

* * *

Привет

Тэги: hse, math, mccme