Математика для чайников №3

Однажды, наш учитель геометрии (Арнольд) заболел; его замещал Раф (Рафаил Калманович Гордин). Это бывало достаточно редко, всего несколько раз. Раф сходу огорошил нас трудной задачей. Мы решали ее до конца урока; кажется, никто не решил. Я дожал ее дома и был немало огорчен результатом. Решение не представляло интереса; задача была трудна - и все.

Я тут же забыл и саму задачу и ее решение.

***

Неделю назад я болтал с одноклассником, Ф. В 80-м году он уехал в Израиль, не доучившись с нами. Единственный из всего моего класса он стал профессиональным математиком, весьма успешным. Мы говорили про 57-ую школу. Он тут же вспомнил урок, который дал Раф, и особенно задачу. Он повторил условие, и я сразу ее вспомнил; вспомнил и то, какой удручающе неинтересной она мне показалась после решения.

Вот она: Нарисовали квадрат, выбрали четыре точки на сторонах, квадрат стерли - теперь надо восстановить квадрат по точкам. Это простой вариант. Вариант сложнее: заранее неизвестно, были ли точки на квадрате; это предстоит установить. Решение - здесь www.hep.princeton.edu/~mcdonald/examples/4point.pdf

***

Я нашел это решение, потому что усомнился: может, я по малолетству что-то не понял. Нет, это было именно то, как я запомнил: головоломка. Задача никуда не вела, ничему новому не учила. Но я обнаружил другое: не только мой одноклассник-математик, но и другие математики были заворожены этой задачей. Например, Теренс Тао.
books.google.com/books?id=ZBTJWhXD05MC&pg=PA62

***

Раф был опытный человек в таких делах. Найденная им задача задевала какие-то струны в душах будущих математиков. У меня уже тогда создалось к математике утилитарное отношение - не в том смысле, что меня интересовали ее приложения (это было потом), а в том, что я ожидал от каждой задачи, что та приведет меня к новой, неизвестной мне области математики, и задача была интересна не сама по себе, а только этим. Если озарения не случалось, она становилась безразличной.

Это не то, как Ф. глядел на ту же самую задачу. Это вообще была не задача по математике, а задача на отношение к математике.

***

Пока я был учеником, я не пытался представить себя на месте учителя. При этом у меня было четкое и ясное представление как следует преподавать. Например, что задачи должны быть дидактическими, всегда чему-то учить. Математическое утверждение интересно мне было не само по себе, а по тому, как далеко оно ведет, что с ним можно сделать; чем больше оно открывало, тем казалось более ценным. Это неплохой подход, но у него есть колоссальный дефект: это подход потребителя, а не творца.

Арнольд это понял и потакал мне потому, что ничего другого со мной все равно сделать было нельзя. Он безошибочно нашел для меня две книжки, которые были просто пропитаны подобным духом и потому мне безумно понравились. Обе написаны Ягломом: одна - Геометрические преобразования, другая - Выпуклые фигуры. Первая вводила в геометрию с точки зрения преобразований, вторая - в конвексную геометрию. Подход у них был общий - научить предмету через серию задач с ответами. Кажется, вторую я даже не пытался прорешать - читал задачу - и сразу смотрел в ответ, вот ведь позорище... И хотя я откровенно жульничал, книга дала мне представление как надо учить математике. Это должен быть построенный на задачах вводный курс в какую-нибудь красивую математику как у Яглома. Но никто меня так не учил. То, что Раф знал, что делал, не приходило в голову, и тем мучительнее было отрезвление.

Дело ведь не в том, что Арнольд или Раф не могли учить меня так, как я себе это вообразил. Дело в том, что это было бы бесполезно. Таким способом можно чему-то научиться, но не математике - так, как ее чувствует и понимает изнутри математик.

Я потом все это видел с другой стороны. Научить (знающего заранее, как его надо учить ) ученика невозможно, да и не нужно.

***

Математик всегда находится в задачке про точки и квадрат. Никто услужливо не подберет красивую задачу, которая натолкнет на общий подход, чтобы раздраконить подобные задачи: этот подход надо найти, задачу подобрать под подход. Это тяжелое дело, и если доставляет радость только результат, а не процесс, лучше найти другое занятие, а если идет легко, значит, не работаешь на пределе возможностей. Кто-то это может делать, кто-то - нет. Есть пограничные случаи, когда непонятно; оттого это непростое дело, требующее меткого глаза.

Я с Ф. тому доказательство: сорок лет спустя я не испытываю от рафовской задачи ничего, кроме недоумения и легкого раздражения, а для него она - радостное, живое переживание. Все изменилось, но ничего не изменилось; жизнь всего лишь исправила досадные недоразумения из-за моего разгулявшегося воображения.

Рафовская пуля поразила предназначенные мишени, и я не могу не восхититься искусством стрелка.