Я.СДубнов ОШИБКИ В ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ДОКАЗАТЕЛЬСТВАХ ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие к первому изданию 3 Введение 5 Глава I. Ошибки в рассуждениях, доступных начинающему 10 Глава П. Анализ примеров, приведенных в главе I 23 Глава Ш. Ошибки в рассуждениях, связанных с понятием предела 38 Глава IV. Анализ примеров, приведенных в главе Ш 55 . --page0002-- ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ В основу этой книжки легли лекции-беседы, которые я несколько раз проводил со школьниками либо VII-— VIII, либо IX—X классов в школьном математическом лектории при Московском государственном университете имени М. В. Ломоносова. Для той и для другой аудитории обычно устраивались две встречи, разделенные промежутком около месяца. Первые встречи соответствовали по содержанию главам I и III этой книжки, имели характер лекций и содержали, кроме введения, изложение примеров ошибочных доказательств без комментариев; в конце лекции слушателям предлагалось выяснить сущность сделанных ошибок и быть готовыми при следующей встрече выступить со своими возражениями. Вторые встречи были уже в большей степени беседами: лектор напоминал вкратце содержание каждого примера и непосредственно вслед за тем 'приглашал желающих выступить. Таких всегда было несколько, к доске выходил один, наудачу выбранный; остальным предоставлялось делать реплики с мест, иногда также выходить к доске. Разбор каждого примера заканчивался краткими высказываниями лектора, содержащими дополнения, варианты и подведение итога. Трудно думать, что все школьники, активно участвовавшие в этой работе, готовились к ней без посторонней помощи. Но даже вразумительно изложить заимствованное опровержение софизма составляло далеко не всегда простую задачу. К чести московских школьников, посещавших лекторий, надо признать, что они показали себя здесь с лучшей стороны; некоторые выступления были просто превосходны. Ободренный этим опытом, я обращаюсь теперь к более широкой аудитории в надежде, что эта книжка пробудит . --page0003-- у читателя не только любознательность, но и математическую активность. Последняя может проявиться в том, что читатель пройдет путь, рекомендованный слушателям моих лекций-бесед: сначала будет знакомиться с примерами ошибочных рассуждений, изложенными в главах I (для школьников, начиная с VII класса средней школы) и III (для IX—X классов); затем в каждом случае попытается вскрыть ошибку собственными силами; наконец, прочитает главы II и IV, где найдет разъяснения соответственно к главам I и III, а также некоторые дополнения. Мелкий шрифт и значительную часть подстрочных примечаний можно пропустить: они рассчитаны на читателей, наиболее подготовленных, а также на руководителей математических кружков. Д. Дубнов . --page0004-- ВВЕДЕНИЕ Сорок лет назад известный тогда педагог-математик Н. А. Извольский в статье, посвященной преподаванию геометрии, воспроизвел характерный разговор, происшедший у. него со знакомой школьницей. Девочка перешла из V в VI класс гимназии и один год обучалась геометрии; разговор происходил на каникулах, в непринужденной обстановке. Педагог спросил свою собеседницу, что она запомнила из., курса геометрии. Девочка долго думала, но увы — ничего вспомнить не могла. Тогда вопрос был изменен: «Что же вы делали весь год на уроках геометрии?». На это последовал очень скорый ответ: «Мы доказывали». Ответ — мало вразумительный, но отражающий в своей наивности те представления, которые складываются у многих школьников: в арифметике решают задачи, в алгебре, кроме того, решают уравнения и выводят формулы, а вот в геометрии — доказывают теоремы. Надо сказать, что такое представление о строении математики давно уже перестало отвечать состоянию этой науки. В математических исследованиях нашего времени, идет ли там речь о числах или же о фигурах, заголовок «теорема» с последующим ее доказательством можно встретить одинаково часто. Во всех областях математики решают задачи, а в геометрии нередко прибегают к решению уравнений. Иначе было 2000 лет назад, когда завершалось создание так называемой геометрии Евклида, которая и поныне составляет основу школьного курса. С тех пор и вплоть до современных школьных учебников, геометрия (именно она, а не другие математические предметы) излагается как цепь теорем (некоторые из них называются леммами или же следствиями), построенных по плану, настолько хорошо известному, что достаточно ограничиться кратким напоминанием. Каждая теорема
Million Dollar Traders — британское реалити-шоу о начинающих трейдерах, снятое в 2009 году. Шоу отслеживает группу из 8 начинающих трейдеров, торгующих на рынке акций во время событий мирового финансового кризиса 2007—2009 годов, сократившуюся в итоге до 3 человек. Участники — выходцы из различных слоёв общества, включая промоутера боёв, мать-одиночку, вышедшего на пенсию ИТ-инженера, студента и [...]
Million Dollar Traders — британское реалити-шоу о начинающих трейдерах, снятое в 2009 году. Шоу отслеживает группу из 8 начинающих трейдеров, торгующих на рынке акций во время событий мирового финансового кризиса 2007—2009 годов, сократившуюся в итоге до 3 человек. Участники — выходцы из различных слоёв общества, включая промоутера боёв, мать-одиночку, вышедшего на пенсию ИТ-инженера, студента и [...]
Million Dollar Traders — британское реалити-шоу о начинающих трейдерах, снятое в 2009 году. Шоу отслеживает группу из 8 начинающих трейдеров, торгующих на рынке акций во время событий мирового финансового кризиса 2007—2009 годов, сократившуюся в итоге до 3 человек. Участники — выходцы из различных слоёв общества, включая промоутера боёв, мать-одиночку, вышедшего на пенсию ИТ-инженера, студента и [...]
Million Dollar Traders — британское реалити-шоу о начинающих трейдерах, снятое в 2009 году. Шоу отслеживает группу из 8 начинающих трейдеров, торгующих на рынке акций во время событий мирового финансового кризиса 2007—2009 годов, сократившуюся в итоге до 3 человек. Участники — выходцы из различных слоёв общества, включая промоутера боёв, мать-одиночку, вышедшего на пенсию ИТ-инженера, студента и [...]
. --page0002-- ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ В основу этой книжки легли лекции-беседы, которые я несколько раз проводил со школьниками либо VII-— VIII, либо IX—X классов в школьном математическом лектории при Московском государственном университете имени М. В. Ломоносова. Для той и для другой аудитории обычно устраивались две встречи, разделенные промежутком около месяца. Первые встречи соответствовали по содержанию главам I и III этой книжки, имели характер лекций и содержали, кроме введения, изложение примеров ошибочных доказательств без комментариев; в конце лекции слушателям предлагалось выяснить сущность сделанных ошибок и быть готовыми при следующей встрече выступить со своими возражениями. Вторые встречи были уже в большей степени беседами: лектор напоминал вкратце содержание каждого примера и непосредственно вслед за тем 'приглашал желающих выступить. Таких всегда было несколько, к доске выходил один, наудачу выбранный; остальным предоставлялось делать реплики с мест, иногда также выходить к доске. Разбор каждого примера заканчивался краткими высказываниями лектора, содержащими дополнения, варианты и подведение итога. Трудно думать, что все школьники, активно участвовавшие в этой работе, готовились к ней без посторонней помощи. Но даже вразумительно изложить заимствованное опровержение софизма составляло далеко не всегда простую задачу. К чести московских школьников, посещавших лекторий, надо признать, что они показали себя здесь с лучшей стороны; некоторые выступления были просто превосходны. Ободренный этим опытом, я обращаюсь теперь к более широкой аудитории в надежде, что эта книжка пробудит . --page0003-- у читателя не только любознательность, но и математическую активность. Последняя может проявиться в том, что читатель пройдет путь, рекомендованный слушателям моих лекций-бесед: сначала будет знакомиться с примерами ошибочных рассуждений, изложенными в главах I (для школьников, начиная с VII класса средней школы) и III (для IX—X классов); затем в каждом случае попытается вскрыть ошибку собственными силами; наконец, прочитает главы II и IV, где найдет разъяснения соответственно к главам I и III, а также некоторые дополнения. Мелкий шрифт и значительную часть подстрочных примечаний можно пропустить: они рассчитаны на читателей, наиболее подготовленных, а также на руководителей математических кружков. Д. Дубнов . --page0004-- ВВЕДЕНИЕ Сорок лет назад известный тогда педагог-математик Н. А. Извольский в статье, посвященной преподаванию геометрии, воспроизвел характерный разговор, происшедший у. него со знакомой школьницей. Девочка перешла из V в VI класс гимназии и один год обучалась геометрии; разговор происходил на каникулах, в непринужденной обстановке. Педагог спросил свою собеседницу, что она запомнила из., курса геометрии. Девочка долго думала, но увы — ничего вспомнить не могла. Тогда вопрос был изменен: «Что же вы делали весь год на уроках геометрии?». На это последовал очень скорый ответ: «Мы доказывали». Ответ — мало вразумительный, но отражающий в своей наивности те представления, которые складываются у многих школьников: в арифметике решают задачи, в алгебре, кроме того, решают уравнения и выводят формулы, а вот в геометрии — доказывают теоремы. Надо сказать, что такое представление о строении математики давно уже перестало отвечать состоянию этой науки. В математических исследованиях нашего времени, идет ли там речь о числах или же о фигурах, заголовок «теорема» с последующим ее доказательством можно встретить одинаково часто. Во всех областях математики решают задачи, а в геометрии нередко прибегают к решению уравнений. Иначе было 2000 лет назад, когда завершалось создание так называемой геометрии Евклида, которая и поныне составляет основу школьного курса. С тех пор и вплоть до современных школьных учебников, геометрия (именно она, а не другие математические предметы) излагается как цепь теорем (некоторые из них называются леммами или же следствиями), построенных по плану, настолько хорошо известному, что достаточно ограничиться кратким напоминанием. Каждая теорема 
