Г.В.Дорофеев, М.КПотапов, Н.Х.Розов ПОСОБИЕ ПО МАТЕМАТИКЕ ДЛЯ ПОСТУПАЮЩИХ В ВУЗЫ (избранные вопросы элементарной математики) Книга предназначена для лиц, желающих углубить и расширить свои знания по математике перед вступительным экзаменом в высшее учебное заведение. Особенно полезной она может оказаться слушателям подготовительных отделений вузов. Учителя средней школы найдут в ней богатый материал по некоторым узловым темам школьной программы.  В книге изложены отдельные важные теоретические вопросы, подкрепленные большим количеством разобранных конкурсных задач. Особое внимание авторы уделяют логике решений, подробно обсуждают типичные ошибки поступающих. Книга снабжена упражнениями, взятыми из опыта приемных экзаменов. При подготовке пятого издания книга подверглась переработке, имевшей целью учесть опыт приемных экзаменов последних лет. ОГЛАВЛЕНИЕ К читателю 5 Программа вступительных 11 экзаменов по математике A975г.) Раздел 1. Арифметика и алгебра 19 § 1. Общие замечания 19 A. Определения и теоремы 20 Б. Целые, рациональные и 25 иррациональные числа B. Логарифмы 35 Г. Прогрессии 44 Д. Уравнения и системы 57 уравнений Е. Метод математической 70 индукции § 2. Некоторые сведения о 79 действительных числах § 3. Графики функций 98 § 4. «Текстовые» задачи 126 § 5. Решение уравнений 166 § 6. Решение неравенств 197 § 7. Доказательство неравенств 226 Раздел П. Тригонометрия 254 § 1. Общие замечания 254 A. Определения 254 тригонометрических функций Б. Тригонометрические формулы 256 B. Решение простейших 264 тригонометрических уравнений § 2. Тригонометрические 271 преобразования § 3. Тригонометрические 285 уравнения и системы Раздел Ш. Геометрия 318 § 1. Общие замечания 318 A. Определения и теоремы 319 Б. Чертеж в геометрической 328 задаче B. Доказательства в геометрии 348 Г. Геометрическое воображение 375 § 2. Геометрические решения 392 задач § 3. Аналитические решения 423 задач § 4. Прямые и плоскости в 449 пространстве § 5. Комбинации тел 476 § 6. Сечения многогранников 504 Раздел IV. «Нестандартные» 522 задачи § 1. Задачи, нестандартные по 524 внешнему виду § 2. Задачи, где наиболее 543 существенные трудности — логические § 3. Задачи, связанные с 568 расположением корней квадратного трехчлена Раздел V. О вступительных 581 экзаменах по математике § 1. Устный экзамен 581 § 2. Письменный экзамен 590 Ответы и указания к задачам 620 . --page0002-- ОГЛАВЛЕНИЕ К читателю , 5 Программа вступительных экзаменов по математике A975 г.) 11 Раздел I. Арифметика и алгебра 19 § 1. Общие замечания 19 А. Определения и теоремы . 20 Б. Целые, рациональные и иррациональные числа . . 25 3. Логарифмы 35 Г, Прогрессии 44 Д. Уравнения и системы уравнений 57 Е. Метод математической индукции 70 § 2. Некоторые сведения о действительных числах .... 79 § 3. Графики функций 98 § 4. «Текстовые» задачи 126 § 5. Решение уравнений i 66 § 6. Решение неравенств 197 § 7. Доказательство неравенств 226 Раздел II. Тригонометрия 254 § I. Общие замечания 254 A. Определения тригонометрических функций .... 254 Б. Тригонометрические формулы 256 B. Решение простейших тригонометрических уравнений 264 § 2. Тригонометрические преобразования 271 § 3. Тригонометрические уравнения и системы 285 Раздел III. Геометрия 318 § 1. Общие замечания 318 A. Определения и теоремы 319 Б. Чертеж в геометрической задаче ........ 328 B. Доказательства в геометрии 348 Г. Геометрическое воображение 375 § 2. Геометрические решения задач 392 § 3. Аналитические решения задач t 423 . --page0003-- ОГЛАВЛЕНИЕ $ 4. Прямые и плоскости п пространстве § 5. Комбинации тел § 6. Сечения многогранников Раздел IV. «Нестандартные» задачи 522 § 1. Задачи, нестандартные по внешнему виду 524 § 2. Задачи, где наиболее существенные трудности — логические 543 § 3. Задачи, связанные с расположением корней квадратного трехчлена 568 Раздел V. О вступительных экзаменах по математике . . .581 § 1. Устный экзамен 581 § 2. Письменный экзамен 590 Ответы и указания к задачам 620 

 В.Г.Болтянский, Ю.В. Сидоров, М.И.Шабунин ЛЕКЦИИ И ЗАДАЧИ ПО ЭЛЕМЕНТАРНОЙ МАТЕМАТИКЕ Книга содержит теоретический материал и задачи по курсу элементарной математики. Теоретический материал включает изложение наиболее трудных вопросов школьного курса алгебры и элементарных функций. Особое внимание обращено на те разделы курса, которые недостаточно полно освещены в учебной литературе.  Значительная часть задач, содержащихся в книге, предлагалась на вступительных экзаменах в МФТИ. Многие задачи специально составлены авторами для этой книги. Книга предназначена для учителей математики, студентов педвузов, университетов и особенно для старшеклассников, готовящихся в вузы. СОДЕРЖАНИЕ Предисловие 7 Глава 1. Необходимые и достаточные условия 9 § 1. Высказывания 9 § 2. Отрицание 11 § 3. Неопределенные высказывания 12 § 4. Знаки общности и существования 14 § 5. Необходимые и достаточные условия 22 § 6. Обратная и противоположная теоремы 27 § 7. Конъюнкция и дизъюнкция 30 § 8. Некоторые приемы доказательства 33 Задачи к главе I 36 Глава II. Действительные числа 43 § 1. Рациональные числа 43 § 2. Свойства множества рациональных чисел 46 § 3. Примеры применения свойств рациональных чисел 48 § 4. Причины, заставляющие расширить множество рациональных чисел 51 § 5. Предел монотонной ограниченной последовательности 56 § 6. Свойства множества действительных чисел 59 § 7. Абсолютная величина 63 § 8. Числовая ось и координаты 65 § 9. Некоторые числовые множества 68 Задачи к главе II 73 Глава III. Неравенства 76 § 1. Определения 76 § 2. Основные свойства неравенств 78 § 3. Некоторые часто встречающиеся неравенства 82 § 4. Примеры 85 § 5. Два замечательных неравенства 89 Задачи к главе III 92 Глава IV. Комплексные числа 100 § 1. Введение 100 . --page0002-- § 2. Определение комплексного числа 102 § 3. Свойства действий 104 § 4. Модуль комплексного числа. Комплексно сопряженные числа 108 § 5. Геометрическая интерпретация комплексного числа 110 § 6. Аргумент комплексного числа 112 § 7. Тригонометрическая форма записи комплексного числа 113 Задачи к главе IV 118 Глава V. Квадратный трехчлен 122 § 1. Квадратный трехчлен и его корни 122 § 2. График квадратного трехчлена 127 § 3. Исследование квадратного трехчлена 134 § 4. Квадратные неравенства 139 § 5. Наибольшее и наименьшее значение квадратного трехчлена 142 Задачи к главе V 143 Глава VI. Многочлены и алгебраические уравнения 148 § 1. Многочлен и его значения 148 § 2. Действия над многочленами 155 § 3. Алгебраическое уравнение и его корни 163 Задачи к главе VI 172 Глава VII. Функции и графики 176 § 1. Определение функции 176 § 2. График функции 182 § 3. Ограниченность, монотонность, четность, нечетность, 187 периодичность § 4. Композиция функций 205 § 5. Обратная функция 209 § 6. Обратные тригонометрические функции 218 § 7. Линейные преобразования графика 222 § 8. Применение функций и графиков к решению уравнений и 228 неравенств Задачи к главе VII 236 Глава VIII. Степенная, показательная и логарифмическая функции 242 § 1. Степень с натуральным показателем 242 § 2. Степенная функция с натуральным показателем 244 § 3. Арифметический корень 247 § 4. Степень с целым показателем 249 § 5. Степень с рациональным показателем 253 § 6. Степень с действительным показателем 258 § 7. Показательная и логарифмическая функции 260 § 8. Свойства логарифмов 263 Задачи к главе VIII 266 Глава IX. Уравнения 269 § 1. Равенство, тождество, уравнение 269 § 2. Потеря корней и появление посторонних корней при преобразовании 274 . --page0003-- уравнений. Равносильные уравнения. Уравнение, являющееся следствием данного. Дизъюнкция уравнений § 3. Наиболее важные приемы преобразования и методы 281 § 4. Простейшие иррациональные уравнения 292 § 5. Логарифмические и показательные уравнения 296 Задачи к главе IX 305 Глава X. Системы уравнений 309 § 1. Равносильные системы уравнений. Система, являющаяся следствием 309 данной § 2. Основные приемы и методы решения систем 312 § 3. Однородные системы двух уравнений второй степени с двумя 320 неизвестными § 4. Системы симметрических алгебраических уравнений 323 Задачи к главе X 330 Глава XI. Тригонометрические уравнения и системы уравнений 349 § 1. Простейшие тригонометрические уравнения 349 § 2. Уравнения вида sin/(x)=a,/(sin x)=0 и аналогичные им 352 § 3. Уравнения, однородные относительно sin x и cos x 357 § 4. Введение вспомогательного угла 362 § 5. Метод замены неизвестного 363 § 6. Метод разложения на множители 370 § 7. Оценка левой и правой частей уравнения 374 § 8. Системы тригонометрических уравнений 377 Задачи к главе XI 391 Глава XII. Задачи по планиметрии 400 § 1. Прямоугольный треугольник 400 § 2. Правильный треугольник 402 § 3. Равнобедренный треугольник 403 § 4. Произвольный треугольник 405 § 5. Параллелограмм 407 § 6. Трапеция 407 § 7. Произвольный четырехугольник и многоугольник 409 § 8. Окружность 410 Глава XIII. Задачи по стереометрии 412 § 1. Правильный тетраэдр 412 § 2. Правильная треугольная пирамида 413 § 3. Произвольная треугольная пирамида 415 § 4. Правильная четырехугольная пирамида 417 § 5. Произвольная четырехугольная пирамида и многоугольная пирамида 419 § 6. Усеченная пирамида 420 § 7. Параллелепипед 421 § 8. Призма 422 § 9. Конус 423 § 10. Усеченный конус, цилиндр и шар 424 

 --page0001-- СБОРНИК ЗАДАЧ МОСКОВСКИХ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ОЛИМПИАД Настоящая книга представляет собой плод многолетней коллективной работы школьного математического кружка при МГУ, работы, активное участие в которой принимали многие студенты и преподаватели Московского Университета, а также школьники — участники кружка. Установление авторства отдельных задач потребовало бы в настоящий момент совершенно непосильной исследовательской работы. Составитель и редактор считают, однако, своим долгом выразить благодарность следующим лицам, принявшим участие в составлении решений и указаний, а иногда и в выяснении смысла «темных» задач подготовительных сборников: Г. М. Адельсону-Вельскому, В. Л. Арлазарову, В. И. Арнольду, Д. Н. Бернштейну, И. Н. Бернштейну, Л. Н. Вассерштейну, А. М. Габриэлову, А. М. Леонтовичу, С. В. Казакову, А. А. Кириллову, О. А. Котию, Ю. И. Манину, 3. А. Скопецу, Е. И. Славутину, Г. В. Смирновой, А. Л. Тоому, Д. Б. Фуксу, А. X. Хованскому, М. В. Шейнбергу. В Г. Болтянский. А. А. Леман ОГЛАВЛЕНИЕ В.Г.Болтянский, И.М.Яглом. Школьный математический кружок при МГУ 3 и Московские математические олимпиады Литература 47 Часть первая Подготовительные задачи 51 А. Алгебра § 1. Доказательство тождеств 52 § 2. Суммирование конечных последовательностей 52 § 3. Доказательство неравенств 54 § 4. Решение уравнений и систем уравнений 56 § 5. Исследование уравнений, систем уравнений и неравенств 59 § 6. Многочлены 61 § 7. Прогрессии 65 § 8. Делимость чисел 66 § 9. Задачи с целыми числами 71 § 10. Разные задачи 76 Б. Геометрия § 1. Задачи на вычисление 82 § 2. Отыскание точечных множеств 83 § 3. Задачи на доказательство. I. Прямые и многоугольники 86 § 4. Задачи на доказательство. П. Окружности 93 § 5. Задачи на построение. I. Многоугольники. Построения с 95 ограниченными возможностями § 6. Задачи на построение. II. Окружности 100 § 7. Прямые и плоскости в пространстве 101 § 8. Многогранники 103 § 9. Поверхности и тела вращения 105  . --page0002-- § 10. Задачи на наибольшие и наименьшие значения 106 §11. Разные задачи 109 В. Смешанный отдел Задачи комбинаторные, логические, задачи на клетчатой бумаге и другие 111 задачи Часть вторая. Задачи московских олимпиад 122 Ответы и указания к решению подготовительных задач 208 Решения олимпиадных задач 298 . --page0003-- ШКОЛЬНЫЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ КРУЖОК ПРИ МГУ И МОСКОВСКИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОЛИМПИАДЫ* Каждую весну в течение уже многих лет по Москве расклеиваются афиши, призывающие школьников посетить не театр или концертный зал, а скромные, строгие аудитории Московского Университета. Здесь, в этих аудиториях, умолкают звонкие детские голоса и в наступающей торжественной тишине начинается конкурс юных математиков — Московская математическая олимпиада. Для всех учащихся, интересующихся математикой, олимпиада — это большой праздник. Работники механико-математического факультета МГУ буквально с ног сбиваются, отвечая на многочисленные вопросы волнующихся школьников и иногда не менее взволнованных учителей: — Когда читаются лекции для участников олимпиады? — Будут ли консультации? — Могут ли в олимпиаде участвовать неотличники? — Где можно достать тренировочные задачи и сколько их необходимо решить? — Будет ли разрешено участие в олимпиаде школьнику, который учится только еще в VI классе? — Можно ли приносить с собой учебники? Поток вопросов, многие из которых могут поставить в тупик и дюжину академиков, нескончаем. Подготовительные задачи, задачи самой олимпиады, а также факты, сообщаемые на консультациях и лекциях, представляют собой ценнейший материал, своеобразный математический фольклор, творцами которого, являются студенты, аспиранты, профессора и преподаватели механико-математического факультета МГУ. Студенты-энту- Студенты-энтузиасты буквально прохода не дают старшекурсникам и преподавателям, предлагая свои задачи, яростно критикуя *) В основу настоящего изложения положена статья, написанная авторами по заказу издательства «Volk und Wissen» (Берлин, ГДР).