Какой рейтинг вас больше интересует?
|
Главная / Главные темы / Тэг «hci»
Основы метрической геометрии (весна 2016) 2015-12-26 16:50:21
Вот, кстати, спрашивали, что я буду читать весной. Основы метрической геометрии.< ...
+ развернуть текст сохранённая копия
Вот, кстати, спрашивали, что я буду читать весной. Основы метрической геометрии.Этот курс в общих чертах повторяет спецкурс "Гиперболические группы по Громову", http://ium.mccme.ru/f12/verbitskii-f 12.html (НМУ, осень 2012 года). Оно будет идти в НМУ либо Вышке (пусть студенты проголосуют), но первое занятие точно в НМУ. Нужно 3-4 часа (лекции плюс семинар). Если вы планируете туда ходить, сообщите, будьте ласковы, в комментах, или лично, какой день удобнее (и где: НМУ, матфак). Еще в 1950-е А. Д. Александрову удалось выразить важное геометрическое свойства риманова многообразия - знак его кривизны - в виде неравенств для метрики на многообразии, которые имеют смысл в любом метрическом пространстве. Впоследствии эти неравенства были названы CAT-неравенствами, в честь Картана, Александрова и его ученика Топоногова. В работах Александрова и его школы (Громов, Бураго, Перельман и др.) этот подход получил множество применений в разных областях геометрии.
В 1930-е годы Кон-Фоссен доказал метрическими методами классическую теорему Хопфа-Ринова о равносильности полноты и компактности замкнутых шаров в римановых многообразиях. Оказывается, что более абстрактный метрический результат доказывается проще, чем его аналог в теории гладких многообразий.
Другое применение метрических методов - простое доказательство теоремы Картана-Адамара о стягиваемости односвязного полного многообразия неположительной кривизны.
Но особенно плодотворным оказалось применение метрических методов в геометрической теории групп.
Граф Кэли группы с заданным набором образующих есть граф, вершины которого соответствуют элементам группы, а ребра - элементам, которые отличаются на домножение на образующую. Громов предложил изучать дискретные группы, исходя из геометрических свойств их графа. Оказалось, что "отрицательной кривизне" (в смысле CAT-теории) графа Кэли отвечает весьма широкий класс групп; ныне эти группы называются "гиперболическими по Громову".
В число гиперболических групп входят решетки в группах Ли ранга 1, фундаментальные группы пространств отрицательной кривизны, свободные группы и много других. Также гиперболическими являются случайные группы, для разумного определения "случайной группы". Громов доказал, что группа, заданная случайным набором k образующих и m соотношений длины l_1, ..., l_m, является гиперболической с вероятностью, которая стремится к 1, когда l_1, ..., l_m стремятся к бесконечности.
Гиперболические группы лишены многих патологий, которые затрудняют работу с более общими группами. Например, в гиперболических группах алгоритмически разрешима проблема различения слов, которая (как доказал П. С. Новиков) неразрешима в более общих группах.
С каждой гиперболической группой канонически связано конечномерное, компактное топологическое пространство, которое называется ее границей. Если эта группа была фундаментальной группой компактного многообразия постоянной отрицательной кривизны, универсальное накрытие которого можно реализовать как внутренность многообразия с краем dM, то граница группы гомеоморфна dM. Многие свойства гиперболических групп восстанавливаются из топологических свойств ее границы; так, dG гомеоморфно канторовскому множеству тогда и только тогда, когда G содержит свободную подгруппу конечного индекса.
Я изложу основы метрической геометрии по Александрову и Громову, обсужу понятие гиперболичности в метрической геометрии, определю гиперболические группы, и расскажу про применение методов Громова в теории групп.
План.
Метрические пространства, внутренние метрики, геодезические, теорема Хопфа-Ринова.
CAT-неравенства, CAT(0)-пространства, теорема Картана-Адамара.
Гиперболические группы, квазиизометрии метрических пространств, основные примеры гиперболических и негиперболических групп.
Изопериметрическое неравенство и алгоритмическая разрешимость проблемы различения слов в гиперболических группах.
(*) Случайные группы по Громову; гиперболичность случайных групп.
(*) Граница гиперболического пространства по Громову и ее свойства. Граница гиперболической группы.
Курс рассчитан на всех желающих, начиная от второго курса. Требуется знакомство с основами топологии (компакты, накрытия, универсальные накрытия, фундаментальная группа) и базовыми понятиями метрической геометрии.
Полезная литература
М. Громов, "Гиперболические группы", Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002
M. Gromov, http://www.ihes.fr/~gromov/PDF/4%5B92%5D "Asymptotic invariants of infinite groups." Geometric group theory. Volume 2 Proc. Symp. Sussex Univ., Brighton, July 14-19, 1991 Lond. Math. Soc. Lecture Notes 182 Niblo and Roller ed., Cambridge Univ. Press, Cambridge (1993), 1-295.
Бураго Д.Ю., Бураго Ю.Д., Иванов С.В., Курс метрической геометрии, Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2004, 512 стр
Ilya Kapovich and Nadia Benakli, "Boundaries of hyperbolic groups", Combinatorial and Geometric Group Theory (R.Gilman, et al, editors), Contemporary Mathematics, vol. 296, 2002, pp. 39-94, http://www.math.uiuc.edu/~kapovich/PAPERS/bry1.pdf
Сайты
http://berstein.wordpress.com/2011/07/03/boundaries-of-hyperbolic-groups/ Bernstein seminar on geometric group theory
http://www.ihes.fr/~gromov/topics/topic6.html Infinite groups: curvature, combinatorics, probability, asymptotic geometry
http://www.yann-ollivier.org/rech/index Yann Ollivier, Random groups and geometric group theory
Comments
Тэги: hse, math, mccme
текст предложений по программе первых двух курсов 2015-08-18 10:18:24
Бесконечной длины текст http://verbit.ru/Job/HSE/Curriculum/a ll.txt состоящий из ...
+ развернуть текст сохранённая копия
Бесконечной длины текст http://verbit.ru/Job/HSE/Curriculum/a ll.txt состоящий из проекта программы первых двух курсов вышечки, списка полезных книжек, и кучи пояснительного текста про ее содержание. Своего рода апдейт к известному сочинению "Математическая программа должна быть устроена так" 15-летней давности. Прошу слать мне комментарии, поправки и все прочие соображения. Привет Comments
Тэги: hse, math
Умный зонт Haz напомнит об ухудшении погоды 2015-08-06 10:35:55
Многие пользователи сталкивались с ситуацией, когда в нужный момент зонтика не оказывалось рядом. ...
+ развернуть текст сохранённая копия
Многие пользователи сталкивались с ситуацией, когда в нужный момент зонтика не оказывалось рядом. Причиной таких ситуаций могут быть неосведомленность о прогнозе погоды или обычная забывчивость людей. Механизированный электронный смарт-зонт Haz Umbrella решит обе этих проблемы: он узнает прогноз и напомнит о себе пользователю.
Тэги: haz, umbrella, автоматический, зонт, интересно, информеры,, навигаторы,, новости, продвинутые, регистраторы,, смарт, умный, устройства, часы, электронный
в магистратуру матфака! 2015-07-05 18:54:50
Кстати, http://lj.rossia.org/users/oort/279 398.html Прием документов в ...
+ развернуть текст сохранённая копия
Кстати, http://lj.rossia.org/users/oort/279 398.html Прием документов в магистратуру матфака вышки. 2 программы: "математика" и "математика и математическая физика". Сообщает oort: Очень мало людей подает! На матфизику 2 человека. До 15 июля прием документов, на Мясницкой 20.http://vk.com/mathhse?w=wall-65080714_3 35 http://math.hse.ru/ http://mf.hse.ru/ http://ag.hse.ru/ http://math.hse.ru/2011archive Пополняющийся список курсов на следующий год: http://math.hse.ru/anonsy2015 Привет Comments
Тэги: hse
100 книг по математике - 2 2015-05-26 10:27:49
Очередной опрос с математическими книжками https://lj.rossia.org/community/ljr_mat h/ ...
+ развернуть текст сохранённая копия
Очередной опрос с математическими книжками https://lj.rossia.org/community/ljr_mat h/47028.html первая версия была тут: https://lj.rossia.org/community/ljr_mat h/46837.html Пожалуйста, проголосуйте, особенно если вы студент и вынуждены это дело постоянно изучать. Такие дела Миша Comments
Тэги: hse, math
Страницы: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 ...
Главная / Главные темы / Тэг «hci»
|
Взлеты Топ 5
Падения Топ 5
|