симметрической или симплектической формы ...
Доказал такую простую штуку: если какая-то степень
симметрической или симплектической формы рациональна,
то она рациональна. Положу сюда, чтобы не потерялось.
\subsection{Rational symmetric and skew-symmetric forms}
For the purpose of this paper,
{\bf a rational tensor} on $\R^n$ is a tensor $\Theta$ such that
$c\Theta$ is rational, for some $c\in \R$.
Further on, we shall need the following two
propositions.
\hfill
\proposition
Let $V=\R^n$ be a vector space, and $g\in \Sym^2 V^*$ a bilinear symmetric
form on $V$ such that $g^k\in \Sym^{2k}V^*$ is rational. Then
$g$ is rational.
\hfill
{\bf Proof:} Let $x\in V$ be a vector such that $g(x,x)\neq 0$.
Consider the map $R_g:\; V \arrow \R$ mapping $y$ to $g^k(x,x,x, ..., x, y)$.
Clearly, $x^\bot=\ker R_g$. Therefore, for each rational $x$,
its orthogonal complement $x^\bot$ is also rational.
Gramm-Schmidt orthogonalization method allows one to
construct a rational orthogonal basis $x_i$ for $g$.
Modifying $g$ by a constant multiplier, we may assume that
$g(x_1, x_1)=\pm 1$. Then $g^k(x_i, x_i, x_1, ..., x_1)=g(x_i, x_i)$,
and this number must be rational, because $g^k(x_1, ..., x_1)$
is rational. \endproof
\hfill
\proposition
Let $V=\R^{2n}$ be a vector space, and $g\in \Lambda^2 V^*$
a bilinear, non-degenerate skew-symmetric
form on $V$ such that $\omega^k\in \Lambda^{2k}V^*$ is rational,
for some $k<n$. Then $\omega$ is rational.
\hfill
{\bf Proof. Step 1:} Assume that $k= n-1$. Then
the map $v, v' \arrow \frac{\omega^k\wedge v \wedge v'}{\omega^n}$
defines a non-degenerate form on $V^*$, dual to $\omega$.
Since this form is rational, $\omega$ is also rational.
{\bf Step 2:} Now assume that $1< k< n-1$. Fix two rational
vectors $x, x'$ such that $\omega(x, x')\neq 0$. Rescaling
$\omega$, we may assume that $\omega(x, x')=1$. Then
for any $k+1$-dimensional subspace $W\subset V$ containing
$x, x'$ and such that $\omega\restrict W$ is non-degenerate,
$\omega\retsrict W$ is rational and takes rational values
on all rational vectors. Since any two vectors
$y, y'\in V$ are contained in appropriate $W$, this
implies that $\omega(y, y')$ is rational.
\endproof
Comments
... />http://verbit.ru/
/TALKS/positive-to ...
Кстати, выступление в Сингапуре
http://verbit.ru/MATH/TALKS/hologra
phy-NUS-Aug-2014.pdf
"Holography principle and Moishezon twistor spaces"
и в Даежеоне
http://verbit.ru/MATH/TALKS/positive-to
ric-2014.pdf
"Complex subvarieties in homogeneous complex manifolds"
В Сингапуре понравилось, еда вкусная, парки там всякие,
чисто, красиво, зелени очень много дофига. По-английски
говорят почти все (на синглише, если точно). Надо еще
съездить.
Все-таки англичане молодцы, иногда у них колонии
получаются очень няшные. Не всегда, но часто,
Сингапур, Гонконг вот.
На самом деле с Индией было бы тоже хорошо, если
б у англичан хватило духу стереть всю эту их индийскую
"культуру" под ноль, целиком и полностью превратить
население в манкуртов: то, что сделали в Сингапуре.
То есть реально перевести весь полуостров на английский,
запретить срать и ссать публично, искоренить "духовность",
"мудрость востока", "философию", "религию",
вот это все. Они немного на ней потоптались, но до конца
искоренить не вышло, естественно, Англия маленькая же.
Мне Индия очень нравится, именно этой самой
ее экзотикой, но я не местный же. А глазами местного
жителя если посмотреть - страна к разумной жизни совершенно
не приспособлена. Всюду насрато, нассано, ходят полуголые,
заразные аборигены, все срут, ссут публично, на каждом углу
кучи говна, помойки, трущобы, скопления ментов, торговцев
говном, монахов, нищих. Единственный пригодный к жизни город -
Чандигар, построенный с нуля гениальным Ле Корбюзье,
с явным намерением сделать из жителей манкуртов, свободных
от "культуры" и "духовности". Получилось, че. Тротуары
сравнительно чистые, нет ни трущоб, ни коров, ни гниющих
свалок, и куч говна на проезжей части почти не видно.
Потому что городская планировка определяет сознание.
В Сингапуре то же самое, помноженное на естественный
отбор: местное население вообще не размножается (рождаемость
по 0.7 детей на женщину), половина страны эмигранты,
четверть дети эмигрантов, восьмая часть внуки и так далее.
Эмигрантов лечат адскими пиздюлями, объясняя им, что эта
их сраная "культура" и "религия" и "национальные особенности"
строятся в колонны по три и идут нахуй. Ну и в результате
имеем что имеем: страну, населенную манкуртами, говорящими
на суржике, и без каких-либо "высших устремлений" вообще.
Тотальный цинизм, практицизм и бездуховность,
и революционные практики городского строительства.
Уважаю дико, иначе с ними нельзя вообще.
Привет
Comments
