Написал анонс к курсу, который я буду читать
следующей весной, если не посадят.
Локально конформно кэлеровы многообразия
спецкурс НМУ/ВШЭ, весна 2014
Локально конформно кэлеровы (LCK) многообразия
суть многообразия, универсальное накрытие которых
кэлерово, а группа монодромий действует гомотетиями.
Это простейший пример некэлерова комплексного многообразия.
В последние 10 лет теория LCK-многообразий развивается очень
активно. Я изложу основные результаты теории LCK-многообразий
в ее современном состоянии.
1. Определение и базовые свойства LCK-многообразий.
Весовое расслоение и форма Ли. Теорема Вайсмана
о некэлеровости LCK-многообразий: компактное
LCK-многообразие с нетривиальным весовым расслоением
не допускает кэлеровой структуры.
2. Контактные, сасакиевы и вайсмановы многообразия.
Структурная теорема для вайсмановых многообразий.
Регулярные, квазирегулярные, иррегулярные вайсмановы
и сасакиевы структуры. Теорема об иммерсии вайсмановых
многообразий в многообразие Хопфа.
3. Классификация некэлеровых поверхностей
и классификация сасакиевых 3-многообразий (Бельгун).
Поверхности Инуэ и многообразия Олеклауса-Тома.
4. LCK-многообразия с потенциалом и теорема
о вложении LCK-многообразий с потенциалом:
каждое LCK-многообразие с потенциалом
(в частности, каждое вайсманово) вкладывается
в многообразие Хопфа. Явные конструкции
вайсмановых и LCK-метрик на многообразиях
Хопфа.
5. Строго псевдовыпуклые CR-многообразия
и сасакиева геометрия.
6. Когомологии Морса-Новикова и Ботта-Черна для
LCK-многообразий. Деформационная устойчивость
LCK-многообразий с потенциалом.
7. Группа автоморфизмов вайсманова многообразия.
Существование потенциала и существование вайсмановой
метрики на LCK-многообразиях с большими группами
автоморфизмов.
Студентам понадобится знание основ дифференциальной
геометрии: кэлеровы метрики, связности, когомологии, векторные
расслоения, кривизна риманова многообразия, почти комплексные
и симплектические структуры, локальные системы.
Понимания содержания осеннего курса "Дифференциальная
геометрия и векторные расслоения" должно быть достаточно.
1. Definition and basic properties of LCK-manifolds.
Weight bundle and the Lee form. Vaisman's theorem
on non-Kaehlerianity of LCK-manifold: a compact
LCK-manifold with non-trivial weight bundle does
not admit a Kaehler metric.
2. Contact, Sasakian and Vaisman manifolds.
Structure theorem for Vaisman manifolds.
Regular, quasiregular, irregular Vaisman and
Sasakian structures. Immersion theorem for
Vaisman manifolds.
3. Classification of non-K\"ahler complex surfaces,
and classification of Sasakian 3-manifolds (Belgun).
Inoue surfaces and Oeljeklaus-Toma manifolds.
4. LCK-manifolds with potential. Embedding theorem
for LCK-manifolds with potential: any LCK manifold
with potential (in particular, any Vaisman manifold)
can be embedded to a linear Hopf manifold. Explicit
constructions of Vaisman and LCK-metrics on Hopf
manifolds.
5. Strictly pseudoconvex CR-structures and Sasakian
geometry.
6. Morse-Novikov and Bott-Chern cohomology for
LCK-manifolds. Deformation stability of LCK-manifolds
with potential.
7. Group of automorphisms of Vaisman manifolds.
Existence of potential and Vaisman metrics on
LCK-manifolds with big automorphism groups.
Literature.
F. A. Belgun, On the metric structure of
non-Kahler complex surfaces, Math. Ann., 317 (2000), 1--40.
C.P. Boyer, K. Galicki, Sasakian geometry, Oxford
mathematical monographs, Oxford Univ. Press, 2006
S. Dragomir and L. Ornea, Locally conformal Kahler
geometry, Progress in Math. 155, Birkhauser, Boston, Basel,
1998.
P. Gauduchon and L. Ornea,
Locally conformally Kahler metrics on Hopf surfaces,
Ann. Inst. Fourier 48 (1998), 1107--1127.
H. Grauert, R. Remmert, Theory of Stein spaces,
Springer-Verlag 2004.
K. Oeljeklaus, M. Toma,
Non-Kahler compact complex manifolds associated to number fields,
Ann. Inst. Fourier 55 (2005), 1291--1300.
Liviu Ornea, Misha Verbitsky
Locally conformally Kahler metrics obtained from pseudoconvex shells
http://arxiv.org/abs/1210.2080
12 pages
Liviu Ornea, Misha Verbitsky, Victor Vuletescu
Blow-ups of locally conformally Kahler manifolds
http://arxiv.org/abs/1108.4885
14 pages
Liviu Ornea, Misha Verbitsky
Oeljeklaus-Toma manifolds admitting no complex subvarieties
http://arxiv.org/abs/1009.1101
Math. Res. Lett. 18 (2011), no. 04, 747-754
Liviu Ornea, Misha Verbitsky
Locally conformally Kahler manifolds admitting a holomorphic conformal flow
http://arxiv.org/abs/1004.4645
Mathematische Zeitschrift, Volume 273, Issue 3 (2013), Page 605-611
Liviu Ornea, Misha Verbitsky
Automorphisms of locally conformally Kahler manifolds
http://arxiv.org/abs/0906.2836
Int. Math. Res. Not. 2012, no. 4, 894-903
Liviu Ornea, Misha Verbitsky
Topology of locally conformally Kahler manifolds with potential
http://arxiv.org/abs/0904.3362
Int. Math. Res. Not. 2010, No. 4, 717-726 (2010)
Liviu Ornea, Misha Verbitsky
Morse-Novikov cohomology of locally conformally Kahler manifolds
http://arxiv.org/abs/0712.0107
J. Geom. Phys. 59 (2009), no. 3, 295--305.
Liviu Ornea, Misha Verbitsky
Embeddings of compact Sasakian manifolds
http://arxiv.org/abs/math/0609617
Math. Res. Lett. 14 (2007), no. 4, 703--710
Liviu Ornea, Misha Verbitsky
Sasakian structures on CR-manifolds
http://arxiv.org/abs/math/0606136
Geom. Dedicata 125 (2007), 159--173.
Liviu Ornea, Misha Verbitsky
Locally conformally Kaehler manifolds with potential
http://arxiv.org/abs/math/0407231
Mathematische Annalen, Vol. 248 (1), 2010, pp. 25-33
Liviu Ornea, Misha Verbitsky
Immersion theorem for Vaisman manifolds
http://arxiv.org/abs/math/0306077
Math. Ann. 332 (2005), no. 1, 121--143
Liviu Ornea, Misha Verbitsky
Structure theorem for compact Vaisman manifolds
http://arxiv.org/abs/math/0305259
Math. Res. Lett, 10(2003), no. 5-6, 799-805
I. Vaisman, Remarkable operators and
commutation formulas on locally conformal Kahler manifolds,
Compositio Math, 40 (1980), 227--259.
Misha Verbitsky,
Vanishing theorems for locally conformal hyperkaehler manifolds
http://arxiv.org/abs/math/0302219
Proc. of Steklov Institute, vol. 246, 2004, pp. 54-79
Comments
