Однажды, наш учитель геометрии (Арнольд) заболел; его замещал Раф (Рафаил Калманович Гордин). Это бывало достаточно редко, всего несколько раз. Раф сходу огорошил нас трудной задачей. Мы решали ее до конца урока; кажется, никто не решил. Я дожал ее дома и был немало огорчен результатом. Решение не представляло интереса; задача была трудна - и все.

Я тут же забыл и саму задачу и ее решение.

***

Неделю назад я болтал с одноклассником, Ф. В 80-м году он уехал в Израиль, не доучившись с нами. Единственный из всего моего класса он стал профессиональным математиком, весьма успешным. Мы говорили про 57-ую школу. Он тут же вспомнил урок, который дал Раф, и особенно задачу. Он повторил условие, и я сразу ее вспомнил; вспомнил и то, какой удручающе неинтересной она мне показалась после решения.

Вот она: Нарисовали квадрат, выбрали четыре точки на сторонах, квадрат стерли - теперь надо восстановить квадрат по точкам. Это простой вариант. Вариант сложнее: заранее неизвестно, были ли точки на квадрате; это предстоит установить. Решение - здесь www.hep.princeton.edu/~mcdonald/examples/4point.pdf

***

Я нашел это решение, потому что усомнился: может, я по малолетству что-то не понял. Нет, это было именно то, как я запомнил: головоломка. Задача никуда не вела, ничему новому не учила. Но я обнаружил другое: не только мой одноклассник-математик, но и другие математики были заворожены этой задачей. Например, Теренс Тао.
books.google.com/books?id=ZBTJWhXD05MC&pg=PA62

***

Раф был опытный человек в таких делах. Найденная им задача задевала какие-то струны в душах будущих математиков. У меня уже тогда создалось к математике утилитарное отношение - не в том смысле, что меня интересовали ее приложения (это было потом), а в том, что я ожидал от каждой задачи, что та приведет меня к новой, неизвестной мне области математики, и задача была интересна не сама по себе, а только этим. Если озарения не случалось, она становилась безразличной.

Это не то, как Ф. глядел на ту же самую задачу. Это вообще была не задача по математике, а задача на отношение к математике.

***

Пока я был учеником, я не пытался представить себя на месте учителя. При этом у меня было четкое и ясное представление как следует преподавать. Например, что задачи должны быть дидактическими, всегда чему-то учить. Математическое утверждение интересно мне было не само по себе, а по тому, как далеко оно ведет, что с ним можно сделать; чем больше оно открывало, тем казалось более ценным. Это неплохой подход, но у него есть колоссальный дефект: это подход потребителя, а не творца.

Арнольд это понял и потакал мне потому, что ничего другого со мной все равно сделать было нельзя. Он безошибочно нашел для меня две книжки, которые были просто пропитаны подобным духом и потому мне безумно понравились. Обе написаны Ягломом: одна - Геометрические преобразования, другая - Выпуклые фигуры. Первая вводила в геометрию с точки зрения преобразований, вторая - в конвексную геометрию. Подход у них был общий - научить предмету через серию задач с ответами. Кажется, вторую я даже не пытался прорешать - читал задачу - и сразу смотрел в ответ, вот ведь позорище... И хотя я откровенно жульничал, книга дала мне представление как надо учить математике. Это должен быть построенный на задачах вводный курс в какую-нибудь красивую математику как у Яглома. Но никто меня так не учил. То, что Раф знал, что делал, не приходило в голову, и тем мучительнее было отрезвление.

Дело ведь не в том, что Арнольд или Раф не могли учить меня так, как я себе это вообразил. Дело в том, что это было бы бесполезно. Таким способом можно чему-то научиться, но не математике - так, как ее чувствует и понимает изнутри математик.

Я потом все это видел с другой стороны. Научить (знающего заранее, как его надо учить ) ученика невозможно, да и не нужно.

***

Математик всегда находится в задачке про точки и квадрат. Никто услужливо не подберет красивую задачу, которая натолкнет на общий подход, чтобы раздраконить подобные задачи: этот подход надо найти, задачу подобрать под подход. Это тяжелое дело, и если доставляет радость только результат, а не процесс, лучше найти другое занятие, а если идет легко, значит, не работаешь на пределе возможностей. Кто-то это может делать, кто-то - нет. Есть пограничные случаи, когда непонятно; оттого это непростое дело, требующее меткого глаза.

Я с Ф. тому доказательство: сорок лет спустя я не испытываю от рафовской задачи ничего, кроме недоумения и легкого раздражения, а для него она - радостное, живое переживание. Все изменилось, но ничего не изменилось; жизнь всего лишь исправила досадные недоразумения из-за моего разгулявшегося воображения.

Рафовская пуля поразила предназначенные мишени, и я не могу не восхититься искусством стрелка.

Когда обсерватории LIGO зафиксировали гравитационне волны, рожденные слиянием черных дыр, научный мир воспринял это как подтверждение теории относительности Эйнштейна. Однако новый анализ данных LIGO при заставил ученых предположить, что во время слияния происходит нечто такое, что нарушает теорию относительности.

Согласно теории относительности, на определенном расстоянии от центра черной дыры существует граница — горизонт событий, из-за которого ничто и никогда не может вырваться наружу — так велико внутри этой границы притяжение черной дыры. Альтернативные теории предполагают, что на горизонте событий может существовать ещё и некая «стена», скопление частиц высоких энергий. Существование «стены» предположили физики из Калифорнийского университета в 2012 году. Если такая «стена» существует, то она служит чуть менее стабильным барьером для частиц и электромагнитных волн, чем традиционный горизонт событий: некоторые частицы будут проходить сквозь нее вглубь черной дыры, а некоторые — отражаться, в зависимости от угла падения. При слиянии двух черных дыр в таком барьере будут «застревать», многократно отражаясь и давая «эхо», гравитационные волны. Предположение об этом вскоре после сообщение об успехе наблюдений на LIGO выдвинул португальский физик Витор Кардозо (Vítor Cardoso) из университета Лиссабона. Сейчас такое «эхо» обнаружилось в результатах наблюдений на LIGO

Если «эхо» подтвердтся, это будет означать, что теория относительности перестает работать в некоторых экстремальных условиях, а именно на границах черных дыр.